2023年初中數(shù)學(xué)三角形的解題方法

一、相似、全等的關(guān)系

全等和相似是平面幾何中研究直線形性質(zhì)的兩個(gè)重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣.因而學(xué)習(xí)相似形要隨時(shí)與全等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別;相似形的討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎(chǔ).

二、相似三角形

(1)三角形相似的條件：

①;②;③.

三、兩個(gè)三角形相似的六種圖形：

四、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：

1)先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等(對(duì)平行線型找平行線)，因?yàn)檫@個(gè)條件最簡單;

2)再而先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例;

3)若無對(duì)應(yīng)角相等，則只考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例;

五、“三點(diǎn)定形法”，即由有關(guān)線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來確定三角形的方法

例1、已知:如圖,ΔABC中,­CE⊥AB,BF⊥AC.

求證:

例2、如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，∠BAC的

平分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，AC·AE=AF·AB嗎?

說明理由。

分析方法：

1)先將積式______________

2)______________( “橫定”還是“豎定”? )

六、過渡法(或叫代換法)

有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運(yùn)用“過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明.

1、 等量過渡法(等線段代換法)

遇到三點(diǎn)定形法無法解決欲證的問題時(shí)，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。

例1：如圖3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分線FE交BC的延長線于E.求證：DE2=BE·CE.

分析：

1、 等比過渡法(等比代換法)

當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對(duì)已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來確定三角形。

例2：如圖4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長線于點(diǎn)F.

求證：

3、等積過渡法(等積代換法)

思考問題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例;若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量(線段)代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。

小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似;

不相似，不用急：等線等比來代替。”

七、證比例式和等積式的方法：

對(duì)線段比例式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等.若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時(shí)需添輔助線)，使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來證明.

可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系; 三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截;

平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替; 兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園冪.

例1　如圖5在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DF⊥AB于F，交AC的延長線于H，交BE于G，求證：(1)FG/FA=FB/FH(2)FD是FG與FH的比例中項(xiàng).

1說明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似.找相似三角形用三點(diǎn)定形法(在比例式中，或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn))，若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換

八、確定證明的切入點(diǎn)。幾何證明題的證明方法主要有三個(gè)方面。第一，從“已知”入手，通過推理論證，得出“求證”;第二，從“求證”入手，通過分析，不斷尋求“證據(jù)”的支撐，一直追溯回到“已知”;第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過分析找到中間“橋梁”，使之成為清晰的思維過程。

九、相似三角形中的輔助線

在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：

一、作平行線

二、作延長線

三、作中線

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