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2020初中數(shù)學(xué)之因式分解(一)

來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)資源 2020-05-28 09:12:42

中考真題

智能內(nèi)容
  今天我們開(kāi)始講因式分解。
 
  以我對(duì)初中數(shù)學(xué)的理解,因式分解學(xué)通了,那么整個(gè)中學(xué)階段所有的計(jì)算你都過(guò)關(guān)了,這個(gè)說(shuō)法毫不夸張——換句話說(shuō),這是決定你計(jì)算能力巔峰的一個(gè)章節(jié)。
 
  然而在學(xué)校里,現(xiàn)在這個(gè)內(nèi)容分配的課時(shí)和它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位是不相稱的。所以我將用很長(zhǎng)很長(zhǎng)的篇幅來(lái)詳細(xì)講解因式分解及其延伸知識(shí)。
 
  有人會(huì)說(shuō)是不是小題大做?
 
  你如果仔細(xì)研究一下高考數(shù)學(xué)的大題,特別是解析幾何和函數(shù)的題目,簡(jiǎn)直就是各種因式分解的運(yùn)用,這是直接的聯(lián)系;至于間接聯(lián)系那就不勝枚舉了,甚至到了大學(xué)學(xué)高等數(shù)學(xué)的不定積分的時(shí)候,還要用因式分解來(lái)進(jìn)行裂項(xiàng)呢。
 
  因式分解的方法有很多,最根本的就是:公式法。
 
  多項(xiàng)式的乘法是種很有意思的運(yùn)算。除法當(dāng)然是它的逆運(yùn)算,而因式分解也可以看成是一種逆運(yùn)算。而逆運(yùn)算的重要性前面已經(jīng)講過(guò)了,這里就不再講了。
 
  你!想!得!美!
 
  逆運(yùn)算對(duì)于計(jì)算的檢查來(lái)說(shuō)絕對(duì)是神兵利器!用相同的方法檢查是大忌!檢查最好的辦法就是逆運(yùn)算而不是:
 
  一!題!多!解!
 
  重要的事情別說(shuō)三遍,三十遍賊老師都能給你念叨過(guò)去。
 
  不是我上年紀(jì)愛(ài)嘮叨。有喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的家長(zhǎng)知道,高手的成長(zhǎng)過(guò)程中,機(jī)械地重復(fù)一個(gè)技術(shù)動(dòng)作是再平常不過(guò)的事情,通過(guò)成千上萬(wàn)次地練習(xí),讓肌肉產(chǎn)生記憶,動(dòng)作不會(huì)變形。
 
  同樣的,對(duì)于重要的理念,在整個(gè)系列中我會(huì)時(shí)不時(shí)地提起,確保作為家長(zhǎng)的你把這種正確的理念傳遞給孩子。
 
 
  什么?就這么點(diǎn)?
 
  對(duì)啊,就這么點(diǎn),歐幾里得五個(gè)公設(shè)還搞出了平面幾何呢。。。
 
  所以不要看不起這幾個(gè)公式,組合在一起就是千變?nèi)f化——當(dāng)然,這里還有一些其他的分解技巧。
 
  最基本的叫分組分解法。
 
  我一直強(qiáng)調(diào)的是,任何方法、概念、定義、定理,一定要抓住其本質(zhì)。所謂的分組分解,就是指待分解的因式經(jīng)過(guò)一定的排列組合之后,可以提取出公因式來(lái)。
 
  沒(méi)錯(cuò),敲黑板劃重點(diǎn):公因式。
 
  所以,這確實(shí)是因式分解里最簡(jiǎn)單的一種——因?yàn)槟阒灰c(diǎn)笨力氣,就一定能做出來(lái)。
 
  比如我們先來(lái)看因式分解:
 
 
  只要你有把子力氣,就可以進(jìn)行多次嘗試:
 
 
  這不就試出來(lái)了?
 
  當(dāng)然,這不是我們的終極目的,我們希望的是:一次成型!
 
  這個(gè),有難度。
 
  我們知道,數(shù)學(xué)難就難在你在做題目的時(shí)候是不會(huì)有這么明確的指向的。那么多技巧綜合運(yùn)用,我怎么知道該用哪種方法,該怎么分組?!
 
  問(wèn)題是你連簡(jiǎn)單的都沒(méi)練好,怎么可能復(fù)雜的能看穿呢?
 
  就分組分解法來(lái)說(shuō),或者再具體一點(diǎn),就上面這個(gè)例子,我們看到這個(gè)式子里有兩個(gè)字母,所以如果你把所有的字母都岔開(kāi),分成的組各包含一個(gè)字母,就像題目本身那樣,這個(gè)一定是錯(cuò)誤的分解方式——一組只包含字母a,一組只包含字母b,公因式?連字母公用都做不到。
 
  第二,次數(shù)相同的盡量在一起。對(duì)于高次的多項(xiàng)式,我們有平方差立方差,立方和等等公式——前提是大家次數(shù)是相同的項(xiàng)湊在一起,即所謂的齊次多項(xiàng)式。我們所有的公式里是沒(méi)有高低次冪混搭在一起走波西米亞風(fēng)的,一定是整整齊齊的。
 
  有了這兩條,直接就能把正確的分組情況給寫(xiě)出來(lái)了。
 
  我們?cè)賮?lái)看一個(gè)。
 
 
  按照之前所講的辦法,首先把字母岔開(kāi),然后齊次項(xiàng)。。。
 
  等等,這個(gè)就是齊次多項(xiàng)式?!
 
  這就是傳說(shuō)中的稍微變一變就束手無(wú)策?
 
  齊次多項(xiàng)式不假,這個(gè)時(shí)候我們還有個(gè)對(duì)稱性的想法,總是和考慮的嘛:
 
  原式
 
 
  剩下的就好辦了。
 
  最后再來(lái)一個(gè)帶著化歸的分組分解:
 
 
  既然叫分組分解,那么這個(gè)時(shí)候又該怎么辦呢?
 
  這個(gè)時(shí)候好像前面講的又用不上了。。。
 
  數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)就是這么尷尬。那這個(gè)時(shí)候該怎么辦?
 
  想想自己手上有什么。ㄗ?jǐn)?shù)太多打感嘆號(hào)太累了)
 
  既然這個(gè)多項(xiàng)式一個(gè)減號(hào)都沒(méi)有,那么我們的公式可用范圍立馬縮小了;而且這個(gè)多項(xiàng)式是二次的,那么所有立方的公式也用不了了;于是只剩下和的平方的公式了。
 
  是不是很合理?
 
  然而和的平方的公式只有三項(xiàng)啊!而且只有兩個(gè)字母!
 
  那就先挑出三項(xiàng)只有兩個(gè)字母滿足和的平方的公式再說(shuō)啊,我們把式子改寫(xiě)成:
 
 
  先把前三項(xiàng)用起來(lái):
 
  我們發(fā)現(xiàn),中間兩項(xiàng)又有公因式了。什么?為什么不用最后兩項(xiàng)?
 
  不對(duì)稱,看了難受。。。
 
 
  這個(gè)時(shí)候,答案呼之欲出了,把x+y當(dāng)成一個(gè)整體之后,這又可以走一波和的平方的公式了!
 
 
  家長(zhǎng)在指導(dǎo)分組分解的時(shí)候,一定要注意幾個(gè)原則:字母岔開(kāi)、對(duì)稱、手上的工具!
 
  不要光說(shuō)多試試,再看看。要明確告訴孩子怎么試,怎么看。哪怕是沒(méi)有頭緒地進(jìn)行嘗試,也要讓孩子有順序地試,就像
 
 
  的分解過(guò)程那樣嘗試,保留所有嘗試的記錄,不要重復(fù)嘗試,也不要遺漏。
 
  賊老師,怎么又是不重復(fù),不遺漏?
 
  你,上道了。

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