難度：★★★ 考點：直角三角形斜邊上的中線
已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點．
�。�1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是（），QE與QF的數(shù)量關系式（）；
�。�2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關系，并給予證明；
�。�3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明．
考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．
分析：（1）證△BFQ≌△AEQ即可；
（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可；
（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．
解答：解：（1）AE∥BF，QE=QF，
理由是：如圖1，∵Q為AB中點，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中
∠BFQ＝∠AEQ
∠BQF＝∠AQE
BQ＝AQ
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案為：AE∥BF，QE=QF．
�。�2）QE=QF，
證明：如圖2，延長FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中
∠FBQ＝∠DAQ
AQ＝BQ
∠BQF＝∠AQD
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．
�。�3）（2）中的結(jié)論仍然成立，
證明：如圖3，
延長EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中
∠1＝∠D
∠2＝∠3
AQ＝BQ
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜邊DE上的中線，
∴QE=QF．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
