中考壓軸題幾何圖形變換的切入點(diǎn)

　　摘要：實(shí)踐操作性試題正逐漸成為中考命題的熱點(diǎn)，前兩年的數(shù)學(xué)中考中，壓軸的都是這類題型。下面，我們通過一個例題談?wù)勅绾胃�好更快地找到解決問題的切入點(diǎn)……

        中考壓軸題幾何圖形變換的切入點(diǎn)

　　實(shí)踐操作性試題正逐漸成為中考命題的熱點(diǎn)，前兩年的數(shù)學(xué)中考中，壓軸的都是這類題型。下面，我們通過一個例題談?wù)勅绾胃�好更快地找到解決問題的切入點(diǎn)。

　　例已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的角平分線，按以下要求解答問題：

　　（1）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C，E.

　�、僭趫D甲中，證明：PC＝PD；②在圖乙中，點(diǎn)G是CD與OP的交點(diǎn)，PG＝PD，求△POD與△PDG的面積之比；（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動，一直角邊與邊OB交于點(diǎn)D，OD＝1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點(diǎn)C，E，使以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長。（見題圖）

　　切入點(diǎn)一：構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形

　　在解決問題的過程中，有時添輔助線是必不可少的。中考對學(xué)生添線的要求不是很高，只需連接兩點(diǎn)或作垂直、平行，而且添輔助線幾乎都遵循這樣一個原則：構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的基本圖形，如本例第一個證明就是利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等這一定理（如圖甲）；再如本市2002年壓軸題的第①題構(gòu)造圖形也是利用這一定理。

　　切入點(diǎn)二：做不出、找相似，有相似，用相似

　　壓軸題牽涉到的知識點(diǎn)較多，知識轉(zhuǎn)化的難度較高。學(xué)生往往不知道該怎樣入手，這時往往應(yīng)根據(jù)題意去尋找相似三角形。

　　如本題第（1）題的第②小題即證ΔPOD∽ΔPDG然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)。第②題則是直接使用相似三角形的性質(zhì)。再如2003年中考壓軸題的第（3）題，也是先要利用相似三角形性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，再證明相似。

　　切入點(diǎn)三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論

　　在圖形運(yùn)動變化時，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個角或某兩個三角形所對應(yīng)的位置或數(shù)量關(guān)系不發(fā)生改變。如本例中，PC與PD始終保持相等關(guān)系，如果我們能認(rèn)識到這一點(diǎn)，才可能考慮利用第①題的證明方法證PC＝PD（如圖�。┻M(jìn)而得到∠PCH＝∠PDN，再結(jié)合相似三角形性質(zhì)易得∠PCH＝∠PDN＝∠CDO＝22.5°＝∠OPC最后得到OP＝OC，這樣做比使用其他方法計(jì)算要簡單得多，再如2002年、2003年壓軸題第（2）小題，也都需要使用第（1）小題的證明方法或結(jié)論。

　　切入點(diǎn)四：展開聯(lián)想，尋找解決過的問題

　　盡管已經(jīng)做過了許多復(fù)習(xí)題，但考試中碰到的壓軸題又往往是新的面孔，如何在新老問題之間找到聯(lián)系呢？

　　請同學(xué)們牢記，在題目中你總可以找到與你解決過的問題有相類似的情況，可能圖形相似，可能條件相似，可能結(jié)論相似，此時你就應(yīng)考慮原來題目是怎樣解決的，與現(xiàn)題目有何不同。原有的題目是如何解決的，所使用的方法或結(jié)論在這里是不是可以使用，或有借鑒之處。

　　比如2002年壓軸題與本例就是以同一問題為背景，從不同的角度去討論問題，但圖形的實(shí)質(zhì)，解決問題的方法是一致的。再比如2003年壓軸題的最后一小題只需聯(lián)想到翻折問題需利用軸對稱性質(zhì)去解即可。

　　切入點(diǎn)五：在題目中尋找多解的信息圖形在運(yùn)動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個令考生頭痛的問題，其實(shí)多解的信息在題目中就可以找到。如本例第②題中，“直角邊與直線OA，直線OB分別交于點(diǎn)C、E”，與第①題的敘述“與OA，OB交于C、E”，有明顯差別，從射線變?yōu)橹本�，所以分別產(chǎn)生圖丙和圖丁，因此考生在讀題時千萬注意此類變化，看清楚是“邊”還是“射線”或是“直線”。再如2002年壓軸題，也是此類情況。

　　總之，問題的切入點(diǎn)很多，考試時也不是一定要找到那么多，往往只需找到一兩個就行了，關(guān)鍵是找到以后一定要敢于去做。有些同學(xué)往往想想覺得不行就放棄了，其實(shí)絕大多數(shù)的題目只要想到上述切入點(diǎn)，認(rèn)真做下去，問題基本都可以得到解決。

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